Démonstration : Organisation en rhombes
Pour mener à bien cette étude, nous ne considèrerons qu'un alvéole.
On ne s’interesse dans cette démonstration qu'uniquement à un tier du prisme originel
composant l'alvéole d'abeille..
Nous tenterons de montrer les différences entre l'organisation spécifique des abeilles (en
rhombes) et l'utilisation de prisme complet classique.
Hypothèse
Soit un prisme dont les couvercles sont deux hexagones H et H'.
K est le tier de prisme naturel de couvercle le losange OABC.
L est le tier de prisme tronqué de couvercle le losange SAB’C.
A, B et C sont trois sommets consécutifs de H.
O est le centre de H.
D, E et F sont les points de H' opposés respectivement à A,B et C.
Soit S tel que SAB'C soit un losange.
On pose 
et
I-Comparaison des volumes
Dans un premier temps, nous tenterons de comparer les volumes des deux polyèdres.
Par hypothèses, 
Et
Le polyèdre étudié est un prisme dont les couvercles sont des hexagones réguliers.
Donc par définition, on a
<.>
Donc 
est un losange.
Donc ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Soit 
;leur point
d'intersection,
Donc 
est le milieu
de 
et
.
Soit 
la rotation de centre
et d'angle
,
Donc 
et
et
.
est un losange,
Donc ses diagonales se coupent en leur milieu et sont parallèles.
Or 
milieu de
,
Donc 
milieu de
.
Donc 
.
,
,
et
,
Donc l'image du tétraèdre 
est
le tétraèdre 
.
est une rotation donc
est une isométrie,
Donc 
est une similitude de
rapport 
.
Donc par propriété, 
.
Ainsi, 
De ce fait, le choix d'une des deux structures n'influe pas sur le volume total de
l'alvéole.
Nous chercherons alors à trouver une différenciation au niveau des aires exterieures de pour
chacune des possibilités de construction.
II-Comparaison des aires
Ainsi, nous essayerons désormais de comparer les aires exterieures des deux structures.
Pour cela, il nous est tout d'abord nécessaire de réaliser quelques calculs de distances.
On pose 
Donc 
Nous avons pu voir que G était le milieu de
et
Donc 
Et 
Donc 
Or 
et
donc 
Donc GAB est un triangle rectangle en G
Donc d’après le théorème de Pythagore,
Donc 
Donc 
Donc 
Or 
Donc 
est un losange
Donc ses cotés sont egaux donc
est un face du prisme donc
c'est un rectangle
Donc le triangle 
est rectangle en
B.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a
.
Nous avons pu voir dans la partie précedente que
et
Or 
est une isométrie donc
Donc 
Donc 
Et 
Donc 
Donc 
Or 
et
Donc 
SAB’C est un losange
Donc ses diagonales se coupent en leur millieux et sont orthogonales
Donc 
Or 
est le milieu de
et de
donc 
donc le triangle 
est rectangle
en 
donc d’après le théoreme de Pythagore
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Or 
Donc 
Déterminons l’Aire de K
Nous allons donc maintenant calculer l'aire du tier de prisme non coupé.
Par hypothèse, 
est un face latérale du
prisme donc c'est un rectangle
Donc 
Or 
et BE est une arète latéral du
prisme
Donc 
Donc 
(1)
est aussi une face latérale du
prisme
Donc par un raisonement analogue, on trouve
(2)
est losange
Donc 
Or 
et
Donc 
(3)
Ainsi, d'après (1), (2) et (3), on trouve
Déterminons l'aire de L
Nous allons désormais calculer l'aire exterieure du prisme modifié.
Par hypothèse, 
SAB’C est un losange
Donc 
Or 
et
Donc 
Donc 
(1)
ADEB' est un trapèze
Donc 
Or 
et
Donc 
Donc 
(2)
B'DFC est un trapèze.
Donc 
Par un raisonement analogue, on trouve
(3)
Avec 
et (3) on trouve
Ainsi, l'aire de 
dépend de la
variable 
.
Pour l'étudier, nous devons donc associer une fonction à cette aire.
On pose 
Donc 
est une distance donc
definie sur
Dérivons 
est dérivable sur
Donc 
Donc 
Cherchons le signe de cette dérivée
Donc 
est du signe de
donc
et 
La fonction carré est croissante sur 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
pour
Et 
pour
Donc 
est décroissante pour
et
est croissante pour
Ces résultats peuvent être résumés dans un tableau de variation de la fonction
.
Ainsi la fonction 
admet un minimum en
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Or 
Donc 
Ainsi pour une grandeur donnée, l'aire de L est inferieure à l'aire de K.
Pour cette valeur, la structure employé par les abeilles apparait alors comme la plus
économique.
Nous pourrions alors nous demander pour quelles valeurs de
l'aire de L est infèrieure a l'aire
de K
Cela se traduit par l'inéquation 
:
Or 
donc
Et 
La fonction carré est croissante sur
Donc 
Donc 
Donc 
On pose 
est une fonction polynome de
discriminant 
Donc 
donc les racines de
sont
et
et
Donc 
et
Donc 
et
donc
est du signe de
à l'éxterieur des racines et du
signe opposé à l'interieur
Donc 
pour
Donc 
Ainsi, l'aire de K est infèrieure a l'aire de L si et seulement si
est compris
entre
et
(Cette étude a été menée en prenant pour hypothèse de base AB=1
La valeur limite est donc de 0.471404*AB pour la longueur de OS.
Pour une valeur de OS comprise entre 0 et 0.471404AB , les abeilles ont intérêts a
utiliser cette forme d'alvéole en raison de l'aire extèrieure qui est infèrieure à celle d'une
structure classique en hexagone.)
Valeurs des angles
Par un calcul d'angle, nous pouvons parvenir à trouver la valeur approchée de
On se propose alors de calculer la valeur de l'angle
pour
Dans le triangle 
, on utilise
la formule d'Al-Kashi,
Ainsi, 
Or 
et
Avec 
, on trouve
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Ainsi, on trouve 
Cette valeur des angles est proche de celle que de fameux mathématiciens avait trouvé par des
méthodes différentes de celle-ci.
En cela, nous trouvons une valeur de
de
.
Or 
est le minimum de la
fonction 
Donc cela confirme le fait que les abeilles utilisent le rapport de distance qui permet d'avoir
la plus petite aire.
Par cela, elles font la plus grande économie de cire possible.
Finalement, nous avons bien montré à l'aide de ces deux raisonnements, que les
alvéoles d'abeille présentent une forme particulière favorisant l'économie de cire, d'une part
par l'emploi de l'hexagone, pavant le plan sans perte avec un périmètre réduit, et d'autre part
avec l'emploi d'un fond en losanges, garant d'une surface externe minimum. Il s'agit donc d'une
struture des plus ingénieuses.